طريقة جاوس لحل الانظمة الخطية

س/ اوجد حل الانظمة التالية بطريقة جاوس

 x + 3y = 5 

4x +5y=6

الشرح : نقوم بنقل العناصر ووضعها داخل مصفوفة مع ملاحظة ان اي x او y التي لا تحمل عدد هذا يعني انها = 1 مثل x الاولى في المسئلة السابقة  ونقوم بوضع فاصل | للعناصر بعد علامة = كما يلي 

ينتج لدينا المصفوفة التالية:

ملاحظة 

الهدف من الحل ان  الوصول الى مصفوفة الوحدة  : 

الحل : 

إيضاح : لكي نصل لمصفوفة الوحدة نريد  تحويل 4 الى 0 لذلك نقوم بضرب الصف الاول  في عكس العدد وهو -4 ومن ثم نقوم بجمع الناتج مع الصف الثاني مع ملاحظة لن نعدل بعد الضرب في هذا الجزء على الصف الاول لان هدفنا تغيير الصف الثاني الذي فيه الرقم 4 ونلاحظ التعديل كان على الصف الثاني كما في .
  .المصفوفة السابقة
حسنا الان نريد تحويل الـ -7 الى 1 فالحل هنا ان نقسمه على نفس العدد لينتج لدينا الـ  1

نلاحظ اننا انتهينا من الصف الثاني حسنا قمنا قبل قليل بالتعديل على الصف الاول لنتخلص من العنصر 3 وتحويله الى 0
 قمنا بظرب الصف الثاني في -3 وجمعناه مع الصف الاول

ضرب مصفوفتين

🚨 يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد صفوف المصفوفة الثانية

📖 مثال :  اذا كانت :

للمزيد حول احجام المصفوفات راجع درس [ المصفوفات ]

أوجد:

=AxB

🛈 معلومة : يكون حجم المصفوفة الناتجة من ضرب مصفوفتين عبارة عن عدد صفوف المصفوفة الاولى + عدد اعمدة المصفوفة الثانية كما في المثال السابق بشكل اوضح حجم المصفوفة A  (3x3) وحجم المصفوفة   B (3x2) فكان حجم المصفوفة الناتجة مالون بالاحمر (3x2) وما لون بالازرق هو شرط اتمام عملية الضرب

 =CxD

غير ممكن لان عدد اعمدة C≠عدد صوفوف A أي ان 2 لاتساوي     3 =CxA

ضرب مصفوفة بعدد

🔍 إيضاح : نقوم بضرب العدد في كل عنصر في المصفوفة وكتب الناتج في المصفوفة الناتجة

🕮 مثال : إذا كانت :

 

فأوجد : 

=6d

=4c-

جمع وطرح مصفوفتين

• لجمع وطرح مصفوفتين لا بد ان يكون لهما نفس الحجم .

📖 مثال : اذا كانت :

فأوجد : 

• A+B

🔍 الحل : 

 

=A+B

💡إيضاح : طريقة جمع مصفوفتين اولا يجب ان تكون المصفوفتين بنفس الحجم كما في A+B بعد ذلك قمنا بجمع كل عنصر في المصفوفة A مع نظيره مع المصفوفة B بشكل اوضح قمنا بجمع العنصر 2 مع 1 وكتبنا العصنر  الناتج 3 في المصوفة الناتجة في نفس موقع العنصرين في المصفوفتين السابقه وهكذا

• B-C

🔍 الحل : 

لأن ليس لهما نفس الحجم [غير ممكن]     =B-C

•  D+A

 🔍 الحل :
لأن ليس لهما نفس الحجم [غير ممكن]     =D+A

• D-C

 🔍 الحل :

=D-C

💡إيضاح : عملية الطرح تمت بنفس آلية الجمع في اول مثال .

المصفوفة القطرية : القطر الرئيسي ، التريس tr

• القطر الرئيسي يرمز لمجموع القطر الرئيسي بالرمز ( ) tr
• لحساب tr يجب ان تكون المصفوفة مربعة 

📖.مثال أوجد مايلي :

1.  
    

   🔍 . إيضاح : اولا لمعرفة التريس tr نقوم بمطابقة المصفوفة مع الشروط اولا يجب ان تكون مربعة ، حسنا المصفوفة السابقة مربعة اذا تريس هذه المصفوفة عبارة عن جمع عناصر القطر الرئيسي وهي (2+5+0) ونقوم بكتابة الناتج  بالصيغة التالية :

   مجموع عناصر القطر الرئيسية=(رمز المصفوفة)tr

🖋 . الحل :

tr(B)=2+5+0 = 7

 📖. مثال 2 

1.  اوجد مايلي 

🖋 . الحل : 

لايمكن حسابه لان المصفوفة غير مربعةtr(c)

المصفوفة المتماثلة

يقال لأي مصفوفة انها متماثلة اذا كانت تساوي منقولها .

مثال1 : هل المصفوفات التالية متماثلة أم لا ولماذا

=A

=Aᵀ

  Aمتماثلة⇢  Aᵀ =A 

مثال 2

=B

=Bᵀ

Bغير متماثلة⇢  Bᵀ ≠B

منقول المصفوفة

يرمز لمنقول أي مصفوفة بالحرف Tمثل    Bᵀ , Aᵀ وهكذا
مثال : أوجد منقول المصفوفات التالية :

= D

 

= Dᵀ 

 

= C

= Cᵀ

= A

= Aᵀ

  

أنواع المصفوفات

• مصفوفة مربعة : هي المصفوفة التي عدد اعمدتها = عدد ضفوفها .

مثال :

1x1

2x2

4x4

• المصفوفة الصفرية : هي المصفوفة التي جميع عناصرها يساوي صفر 

مثال :

• مصفوفة العمود : هي مصفوفة تحتوي على عمود واحد وعدد من الصفوف

مثال :

•  مصفوفة الصف : هي مصفوفة تحتوي على صف واحد وعدد من الاعمدة 

مثال :

•  مصفوفة الوحدة : هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها يساوي الصفر عدا القطر الرئيسي جميع عناصره يساوي الواحد 

مثال :  مصفوقة الوحدة ↶

 هي↶

ومصفوفة الوحدة ↶

هي↶

• مصفوفة قطرية : هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها يساوي الصفر ماعدا القطر الرئيسي فهي عبارة عن اعداد 

مثال :  أي مصفوفة وحدة هي مصفوفة قطرية ⇡

ايضاً⇣

المصفوفات

الشكل 1

تعريف المصفوفة : هي ترتيب مستطيل لمتغيرات أو اعداد في صفوف افقية أو اعمدة رأسية تكتب بين قوسين .

• كل قيمة في المصفوفة تسمى عنصر.

[إيضاح ] انظر الى الشكل 1 حيث ان القيم 5,6,7 عبارة عن عناصر.

• حجم المصفوفة يساوي عدد الأعمدة x عدد الصفوف.

الشكل 2

 [إيضاح ] انظر للشكل 2 حيث ان الخطوط الحمراء تعتبر أعمدة والخطوط الخضراء عبارة عن صفوف ويكون حجم المصفوفة هنا (3x2) .

• يرمز للمصفوفة بحرف كبير .

  [إيضاح ] انظر للشكلين 1 , 2 حيث ان الحرفين A,B عبارة عن رموز المصفوفة ويكون بداية كل مصفوفة .