تتبع احصائيات فايروس كورونا الجديد

حل تمارين الفصل الثاني ( نمذجة ومحاكاة ) - Exercise Questions and Case Study Chapter 2 -Solution

 Exercise Questions and Case Study

Chapter 2

1). If three customers arrived to a supermarket in the morning at 9:00, 10:00 and 11:00 am respectively, they took 10, 20 and 30 minutes in separate counters. Calculate C1, C2, C3.

2). Calculate the Average Interarriaval time of t1 (12:10), t2(12:30), t3 (12:50), and t4(12:58).

3). Apply Predator-Prey simulation Model for calculating the “Rate of change of the prey population”

if r=10, X(t)=200, a=10 and y(t)=180.

4). Use the Predator-Prey simulation Model for finding the Rate of change of the Predator population with s=5, X(t)=200, b=5 and y(t)=180.

Case Study: Investigating a Predator-Prey Relationship

In this case study you will investigate one of the most famous sets of data ever collected on a predator-prey relationship.

Lynx, a cat of forests of Canada, prey on snowshoe hare. In some areas, hare provide over 70 % of the lynx diet. As a result, the population growth curve of the lynx should show a relationship to that of the hare. What do you think that relationship is?

The data on this relationship are listed in the following table. Study them carefully as you answer the questions.

Population Numbers Of Hare and Lynx by Year Year	Hare numbers	Lynx numbers	Year	Hare numbers	Lynx numbers
1895 1900 1903 1905 1908 1909 1910 1912 1915	85 000 18 000 65 000 40 000 28 000 25 000 51 000 70 000 30 000	48 000 6 000 18 000 61 000 28 000 4 000 10 000 32 000 42 000	1918 1921 1924 1927 1930 1933 1934 1936	5 000 52 000 78 000 18 000 4 000 22 000 86 000 15 000	5 000 11 000 28 000 42 000 5 000 18 000 32 000 40 000

Questions
5. Plot this data on the same sheet of graph paper. Put the year on the x-axis and the population numbers on the y-axis.
6. Which animal is the predator and which is the prey?
7. As the hare population increases what happens to the lynx population? Why?
8. As the lynx population increases what happens to the hare population? Why?
9. a) These population growth curves are said to fluctuate. What does that mean?
b) How many years are there in one fluctuating cycle of the hare population?
10. What factors may be responsible for the unusual number of hare in 1895?
11. We say that a good predator-prey relationship keeps the two populations “in balance.” What is meant by this?
12. What would happen to the forest environment if the lynx started being hunted for their skins?

لتحميل الحل كاملا  بصيغة PDF
من هنا
أو من خلال النموذج التالي :

...

فلاتر سناب شات للمصممين جاهزة للتعديل بصيغة psd

للتحميل اضغط هنا

للتحميل اضغط هنا

 '

للتحميل اضغط هنا

 سيتم اضافة روابط التحميل للفلاتر التالية في اقرب وقت - لطلب فلتر خاص قم بالطلب من خلال حسابنا على انستجرام ( instagram.com/afp_design)

النمذجة والمحاكاة | الفصل الأول : مقدمة Introduction to Modeling & Simulation

الفصل الأول :
مقدمة في النمذجة والمحاكاة :
النظام : النظام هو اي مجموعة من الاجزاء المترابطة معا لهدف محدد ، ويعني ان النظام يحتوي على بعض المدخلات التي تحتاج الى معالجة لانتاج المخرجات المطلوبة كما في الرسم التالي :

مدخلات > النظام > مخرجات 

ايضا يعرّف  بمجموعة من الكينونات مثل : الاشخاص ، الآلات التي تعمل مع بعضها البعض للحصول على نهاية منطقية . والنظام البنكي مثالا على ذلك 

النظام البنكي : النقد ، التحويل ، تصفية الحسابات

امثلة اخرى :

نظام الطوابير، نظام المخزون ، نظام البريد الإلكتروني ، نظام المرور، نظام المتجر

اجزاء النظام : للنظام خمسة اجزاء اساسية :

1. الكينونة : الكينونة هو كائن ذو مصلحة او اهمية في النظام 
2. السمة : السمة هي خاصية الكينونة ، فالكينونة تملك مجموعة من السمات 
3. الفعالية : الفعالية تتمثل في فترة محددة من الوقت
4. حالة النظام : حالة النظام تعرف بمجموعة من المتغيرات مثل ( الكينونات ، السمات ، والفعاليات ) الضرورية لوصف النظام في اي وقت نسبيا لاهداف الدراسة  
5. الحدث : الحدث يعرف كحادثة فورية التي من الممكن تغير حالة النظام 

مثال : دعنا نأخذ النظام البنكي في هذا المثال : 

نظام الكينونة هنا هما العميل و امين الصندوق .

سمة العميل هي الميزانية (بمعنى قد تكون اكثر من سمة ، معرف العميل ، الاسم ، رقم الجوال ، العنوان الخ )

الفعالية هي سحب النقود او ايداع النقود .

حالة النظام هي وصول العميل و مغادرة العميل . 

فحالة النظام تتغير بواسطة هذه الاحداث : عدد العملاء في القائمة ( يكون رقم من 0 الى رقم معين) وحالة امين الصندوق ( مشغول ، متاح)

تقدم النظام يدرس بتغير حالة النظام 

مثال 2 : 

اذا كان احد يريد عمل دراسة على بنك لتحديد الرقم لاحتياج امناء الصناديق لتقديم خدمة كافية للعملاء الذين يريدون فقط التحقق من النقد او عمل ادخار للودائع ، فيمكن للنظام  ان يعرّف وضع البنك المؤلف من امناء الصناديق ، والعملاء المنتظرين في الصفوف او الذين تجري خدمتهم .

بيئة النظام : الاجزاء الخارجية التي تتفاعل مع النظام و انتاج التغييرات الازمة واتخاذ القرار في الحدود بين النظام وبيئته ، هذا القرار يمكن اعتماده بهدف الدراسة

مثال : العملاء هم المكون الخارجي الذي يتفاعل مع نظام البنك وينتج عن هذا المكون التغييرات

النظام الداخلي : مصطلح داخلي يستخدم لوصف الانشطة او الفعاليات التي تحدث داخل النظام مثل : سحب النقود داخل البنك.

النظام الخارجي : مصطلح يستخدم لوصف الانشطة او الفعاليات التي تحدث في بيئة النظام وتؤثر عليه مثل : وصول العملاء

النظام المغلق : النظام الذي لا يرتبط باي نشاط خارجي ويسمى بالنظام المغلق.

النظام المفتوح : نظام يرتبط بالانشطة والفعاليات الخارجية مثل النظام البنكي ( يمكن للعميل سحب وتحويل النقود من خارج البنك الخدمات الهاتفية مكائن الصرف الخ ) .

النمذجة والمحاكاة :

النمذجة	المحاكاة
ايجاد مجموعة معادلات (نموذج رياضي) تفسر سلوك النظام	استخدام النموذج الرياضي لتحديد استجابة النظام في مختلف الأوضاع
	المحاكاة عملية تصميم النموذج في النظام الحقيقي و اجراء التجارب على هذا النموذج إما لهدف فهم استجابة النظام أو تقييم الاستراتيجيات المختلفة لتشغيل النظام. فالمحاكاة تستخدم الكمبيوتر لتقييم النموذج رقميا ، والبيانات تجمع من اجل تقدير الخصائص الصحيحة او الحقيقية للنموذج

النموذج : مجموعة من الافتراضات عن طريقة عمل النظام والذي غالبا ما ياخذ نموذج او شكل رياضي او علاقة منطقية ، لتشكل نموذجاً ، يستخدم لمحاولة كسب المزيد من الفهم لطريقة تصرف النظام المقابل " ويعني ان النموذج يفسر العلاقات الرياضية بين المدخلات والمخرجات " .
أو يفسر نموذج "متماثل او محاكي " للشكل الاصلي او العمل بينهما .

الاسباب لاجراء النماذج : او لماذا نعمل نماذج ؟

1. لدراسة تصرف النظام اذا كان في حالته الاصلية او كان غير متاح
2. دراسة النموذج اذا ماكان اسهل ، اسرع ، اكثر امانا مقارنة بالنظام الحقيقي
3. لمساعدتنا على التصور او تنظيم وتصميم افكارنا
4. لمساعدتنا على توصيل افكار تصاميمنا الى الاخرين 
5. يمكننا تجربة الافكار الموسعة على النموذج
6. لإعطاء التدريب الازم للمتدريب (مثل السفر للفضاء)

مثال : فرضاً بناء يريد عمل عمارة ، بالتالي لا يمكنه عمل العمارة بشكل مباشر ، أولا يقوم بعمل نوذج بحيث يمكن للناس رؤية مخطط التصميم قبل شراء تلك الشقق في تلك العمارة .

مثال نموذج للمجمع المعماري في المثال السابق

مثال نموذج الكرة الارضية

مثال نوذج للنظام الشمسي

طرق دراسة النظام :

في مرحلة ما في دوارت حياة معظم الانظمة ، هناك احتياج لدراسة تلك الدورات لمحاولة الحصول على بعض الافكار حول العلاقة بين المكونات المختلفة أو للتنبؤ بالأداء  تحت بعض الظروف الجديدة اللتي يجري النظر فيها او تتم دراستها . يوضح الشكل التالي طرقًا مختلفة يمكن من خلالها دراسة النظام.

لماذا المحاكاة ضرورية ؟ :

1. تمكننا من اختبار الفرضيات دون الحاجة الى تنفيذها في الحياة الواقعية وكذلك تحفظ الحياة والمال 
2. توفر وسيلة فعالة من حيث التكلفة ، لاستكشاف عمليات جديدة ، وفهم العالم من حولنا.
3. ويمكن استخدامها 24/7. فالمحاكاة غير مقيدة بالطقس ، الوقت ، اليوم ، إلخ.
4. قد يكون وصف سلوك النظام غير ممكن بواسطة التجربة في الحياة الواقعية لسببين هما : 

• قد لا يمكننا الوصول للمدخلات والمخرجات .
• قد تكون التجربة خطيرة جدا ، فنستعيض بالمحكاة بدلا منها .

عندما تكون المحاكاة أداة مناسبة:

1. المحاكاة تمكننا من دراسة التفاعل الداخلي للنظام الفرعي مع النظام المعقد.
2. يساعدنا نموذج المحاكاة في اكتساب المعرفة حول تحسين النظام.
3. العثور على عوامل الإدخال الهامة مع تغيير مدخلات المحاكاة.
4. يمكن استخدام المحاكاة مع التصميم وايضا مع السياسات الجديدة قبل التنفيذ.
5. محاكاة كفآت مختلفة للآلة من الممكن أن تساعد في تحديد المتطلبات .
6. نماذج المحاكاة مصممة للتدريب ، حيث تجعل من التعلم ممكنًا دون اخلال بالتكلفة.
7. الخطط يمكن تنفيذها  بواسطة المحاكاة الحركية .
8. النظام العصري تفاعله الداخلي معقد جدا ويمكن معالجته او التعامل معه بواسطة المحاكاة فقط ! مثل: ( المصانع ، المنظمات الخدمية ).

عندما تكون المحاكاة غير مناسبة:

1. عندما يمكن حل المشكلة عن طريق المنطق السليم.
2. عندما يمكن حل المشكلة تحليليا.
3. إذا كان من الأسهل إجراء تجارب مباشرة.
4. إذا كانت التكلفة تتجاوز المدخرات.
5. إذا كان المورد أو الوقت غير متاح.
6. إذا كان سلوك النظام معقد للغاية. (مثل السلوك البشري).

تصنيف نماذج المحاكاة

1.  ثابت vs ديناميكي : نموذج المحاكاة الثابت هو تمثيل لنظام في وقت معين (مثل: Monte Carlo Models). ، نموذج المحاكاة الديناميكية تمثيل لنظام يمكن تطويره بمرور الوقت (مثل: نظام الحزام الناقل في المصنع).
2. المنظم vs العشوائي : إذا كان النموذج لا يحتوي على أي مكونات احتمالية (مثل: المكونات العشوائية) ، فيُطلق عليه منظم (على سبيل المثال: نظام معقد من المعادلات التفاضلية يصف تفاعل كيميائي). ، تحتوي نماذج المحاكاة العشوائية على بعض مكونات الإدخال العشوائي وينتج عنها مخرجات عشوائية وتعامل فقط كتقدير للخصائص الحقيقية للنموذج.
3. مستمر vs منفصل: تستخدم المحاكاة المستمرة لنمذجة الأنظمة التي تختلف باستمرار مع مرور الوقت ؛ كالأنظمة المصممة ديناميكيا ولكنها قد تكون إما منظمة أو عشوائية. ،،و تُستخدم المحاكاة المنفصلة لنمذجة الأنظمة التي يُفترض أن تتغير فقط في مجموعة منفصلة من النقاط الزمنية (واللتي تتوافق مع تغييرات الحالة). كالأنظمة التي تم تصميمها ديناميكيا ،او كعشاوئية تقريبا . 

معظم النماذج التشغيلية اما ديناميكية ، او عشوائية ، او منفصلة -وتسمى نماذج محاكاة الأحداث المنفصلة.

مجالات تطبيق المحاكاة:

• تصميم وتحليل نظم التصنيع.
• تقييم أنظمة الأسلحة العسكرية أو متطلباتها اللوجستية.
• تحديد متطلبات الأجهزة أو بروتوكولات شبكات الاتصال.
• تصميم وتشغيل أنظمة النقل مثل المطارات والطرق السريعة والموانئ ومترو الإنفاق. تقييم التصميمات لمؤسسات الخدمة مثل مراكز الاتصال ومطاعم الوجبات السريعة والمستشفيات ومكاتب البريد.
• إعادة هندسة العمليات التجارية.
• تحديد سياسات الطلب لنظام المخزون.
• تحليل النظم المالية أو الاقتصادية.

مزايا المحاكاة

• المحاكاة تسمح  بتقدير أداء النظام الحالي في ظل مجموعة من ظروف التشغيل المتوقعة.
• يمكن مقارنة تصاميم النظام المقترحة البديلة (أو سياسات التشغيل البديلة لنظام واحد) من خلال المحاكاة لمعرفة أفضل ما يلبي المتطلبات المحددة.
• في المحاكاة ، يمكننا الحفاظ على تحكم أفضل بكثير في الظروف التجريبية مما سيكون ممكنًا عموما عند تجربة النظام على ارض الواقع.
• تسمح لنا المحاكاة بدراسة نظام مع إطار زمني طويل --- على سبيل المثال ، نظام اقتصادي --- في وقت مضغوط ، أو بدلاً من ذلك لدراسة الأعمال التفصيلية للنظام في وقت موسع.

مساوئ المحاكاة

• يقدم كل تشغيل لنموذج المحاكاة العشوائية تقديرات فقط لخصائص النموذج الحقيقية لمجموعة معينة من عوامل الإدخال. في حالة توفر نموذج تحليلي "صالح" أو يمكن تطويره بسهولة ، فسيكون ذلك أفضل بشكل عام على نموذج المحاكاة.
• غالبًا ما تكون نماذج المحاكاة مكلفة وتستغرق وقتًا طويلاً لتطويرها.
• إذا لم يمثل النموذج تمثيلا "صحيحًا" لنظام ما قيد الدراسة ، فسينتج عن االمحاكاة  معلومات مفيدة قليلة عن النظام الفعلي.

مصاعب وعقبات استكمال دراسة المحاكاة الناجح 

• الفشل في الحصول على مجموعة من الأهداف المحددة بشكل جيد في بداية دراسة المحاكاة
• مستوى غير مناسب من تفاصيل النموذج
• الفشل في الحصول على أشخاص لديهم معرفة بمنهجية المحاكاة والإحصاءات في فريق النمذجة
• الفشل في جمع البيانات الجيدة للنظام
• برنامج المحاكاة غير مناسب
• استخدام مقاييس اداء خاطئة 

 المحاكاة الموازية ( الموزعة).

تشير المحاكاة المتوازية (الموزعة) إلى التكنولوجيا المعنية بتنفيذ عمليات محاكاة الكمبيوتر على أنظمة الحوسبة التي تحتوي على معالجات متعددة.  

• أنظمة محكمة و متعددة المعالجات    
• ترابط محطات العمل عبر شبكة (على سبيل المثال ، الإنترنت) 
• أجهزة الكمبيوتر المحمولة مع الاتصالات الاسلكية مثل الفقرتين بالاعلى
•  أجهزة الكمبيوتر الموزعة (معالجات غير مترابطة). مثل محطات العمل الشبكية .  
  

في السنوات الأخيرة ، تمكنت تقنية الكمبيوتر من ربط أجهزة الكمبيوتر الفردية أو المعالجات معًا ببيئات الحوسبة المتوازية أو الموزعة. على سبيل المثال ، يمكن ربط العديد من الحواسيب الصغيرة غير المكلفة نسبيًا (أو حتى الحواسيب الصغيرة) ببعضها البعض ، أو يمكن لجهاز كمبيوتر أكبر أن يضم عددًا من المعالجات الفردية التي يمكنها العمل بمفردها وكذلك التواصل مع بعضها البعض. في مثل هذه البيئة ، قد يكون من الممكن "توزيع" أجزاء مختلفة من مهمة الحوسبة عبر معالجات فردية تعمل في نفس الوقت ، أو  "متوازي" ، وبالتالي تقليل الوقت الإجمالي لإكمال المهمة. تعتمد القدرة على إنجاز ذلك بشكل طبيعي على طبيعة مهمة الحوسبة ، وكذلك على الأجهزة والبرامج المتاحة.

لماذا يتم التنفيذ بوحدات المعالجة المركزية المتعددة او حتى اكثر من ذلك؟

• خفض وقت التنفيذ للنموذج .. (ما يصل الى الحد N-fold باستخدام وحدات المعالجة المركزية N)
• قد لا تملك ذاكرة كافية على جهاز فردي
•   أداء قابل للتطوير :

-الحفاظ على نفس سرعة التنفيذ للنماذج الكبيرة / البيئات الافتراضية باستخدام المزيد من وحدات المعالجة المركزية

-مهم بشكل خاص في البيئات الافتراضية

• المستخدمون الموزعون جغرافيا  / أو الموارد (مثل قواعد البيانات والمعدات المتخصصة) 

-الموقع المشترك قد يكون عالي التكلفة ! وقد يكون غير عملي 

•  دمج عمليات المحاكاة التي تعمل على منصات مختلفة (الشبكة بدلاً من المنفذ "البورت")
• التسامح مع الخطأ (من الصعب التسامح مع الاخطاء) 

 خطوات في دراسة المحاكاة :  

1.  صياغة المشكلة والتخطيط للدراسة. : يجب أن تبدأ كل دراسة ببيان واضح للأهداف العامة للدراسة والقضايا المحددة التي يتعين معالجتها ؛ بدون مثل هذا البيان هناك أمل ضئيل للنجاح. يجب تحديد تصاميم النظام البديل المطلوب دراستها (إن أمكن) ، كما يجب تقديم معايير لتقييم فعالية هذه البدائل. يجب التخطيط للدراسة الشاملة من حيث عدد الأشخاص والتكلفة والوقت اللازم لكل جانب من جوانب الدراسة. (- اذكر المشكلة بوضوح. - كيف ينبغي لنا أن نتعامل مع المشكلة.)
2.  جمع البيانات وتحديد نموذج.
   يجب جمع المعلومات والبيانات على النظام للفائدة (إن وجد) واستخدامها لتحديد إجراءات التشغيل وتوزيعات الاحتمالات للمتغيرات العشوائية المستخدمة في النموذج. (-إنشاء نموذج معقول. -جمع البيانات اللازمة لتشغيل المحاكاة (مثل معدل الوصول ، وعملية الوصول ، وانضباط الخدمة ، ومعدل الخدمة وما إلى ذلك.  )
3. ان تكون المحاكاة صالحة او فعلية 
   عند بناء النموذج ، من الضروري أن يقوم المصممون بإشراك الأشخاص في الدراسة الذين لديهم دراية وثيقة بعمليات النظام الفعلي. من المستحسن أيضًا أن يتفاعل المصممون مع صانع القرار (أو صانع النماذج) على أساس منتظم. سيؤدي ذلك إلى زيادة الصلاحية الفعلية للنموذج ، كما ستتم زيادة مصداقية النموذج إلى صانع القرار.(-إشراك أشخاص مطلعين على النظام -
   إشراك المستخدم - التحقق من وفرة توزيعات الاحتمالات
4.  بناء برنامج كمبيوتر والتحقق منه.
   يجب أن يقرر مصمم نماذج المحاكاة ما إذا كان سيتم برمجة النموذج بلغة الأهداف العامة أو بلغة محاكاة مصممة خصيصًا. فمن المحتمل أن تكون لغة الأهداف العامة معروفة ومتاحة بالفعل على كمبيوتر المصمم. وقد يؤدي أيضًا إلى تقليص وقت التنفيذ. ومن ناحية أخرى ، من خلال توفير العديد من الميزات المطلوبة في برمجة النموذج ، فإن لغة المحاكاة قد تقلل من وقت البرمجة المطلوب بشكل كبير. ( -لغة الأهداف العامة مقابل لغة المحاكاة - التحقق من الاكواد البرمجية)
5.  التشغيل
   يتم إجراء عمليات تشغيل النموذج الذي تم التحقق منه لهدف التحقق من صحته . الأهداف في الخطوة 6. يمكن فيها استخدام عمليات التشغيل لاختبار حساسية إخراج النموذج للتغيرات الصغيرة في عوامل الإدخال.
6. التحقق التحقق هو عملية التأكد من أن النموذج يتصرف كما هو مطلوب، عادةً عن طريق تصحيح الأخطاء أو من خلال التحريك(انميشن). التحقق ضروري ولكن ليس كافيًا للتحقق من الصحة ، فهذا نموذج يمكن التحقق منه ولكنه غير صالح. التحقق من الصحة يضمن أن لايوجد فرق كبير بين النموذج والنظام الحقيقي وأن النموذج يعكس الواقع. يمكن التحقق من الصحة من خلال التحليل الإحصائي. بالإضافة إلى ذلك ، على سبيل المثال يمكن الحصول على صحة الوجوه  من خلال مراجعة النموذج ودعمه بواسطة خبير.(اختبار حساسية الإخراج للتغيرات في عوامل الإدخال. -
   مقارنة الإخراج مع النظام الحالي.)
7.  تجارب التصميم.: يجب أن يقرر ما هي تصاميم النظام التي يجب محاكاتها ، كما هو الحال أحيانًا في الممارسة ، هناك بدائل أكثر مما يمكن للمرء أن يحاكيها بشكل معقول.
   في كثير من الأحيان لا يمكن اتخاذ القرار الكامل في الوقت الحالي. بدلاً من ذلك ، باستخدام بيانات الإخراج من عمليات الإنتاج لبعض تصميمات النظام المحددة ، يمكن للمحلل تحديد الأنظمة الإضافية التي يجب محاكاتها. ولكي يتم محاكاة كل تصميم للنظام ، يجب اتخاذ القرارات بشأن المسائل مثل الشروط الأولية لتشغيل (عمليات) المحاكاة ، وطول فترة التسخين (إن وجدت) ، وطول تشغيل (عمليات) المحاكاة ، و عدد عمليات المحاكاة المستقلة (النسخ المتماثلة) التي يمكن إجراؤها لكل بديل.
   عند تصميم وتشغيل الإنتاج ، من الممكن أحيانًا استخدام بعض تقنيات تقليل التباين لإعطاء نتائج بدقة إحصائية أكبر.(-الظروف الأولية -فترات الاحماء -طول التشغيل -عدد النسخ المتماثلة.)
8. جعل الإنتاج يعمل يتم إجراء عمليات الإنتاج لتوفير بيانات الأداء عن تصميمات النظام المهمة. يتم استخدام عمليات الإنتاج ، والتحليل اللاحق لها ، لتقدير مقاييس الأداء لتصاميم النظام التي يتم فيها محاكاة تحليل تجارب المحاكاة.
9. تحليل بيانات الإخراج. تتضمن التجربة تطوير النموذج البديل ، وتنفيذ عمليات المحاكاة ، ومقارنة إحصائية أداء النظام بأداء النظام الحقيقي. 
10. المستند الحالي ، وتنفيذ النتائج.

خطوات دراسة المحاكاة

 

المفاهيم الأساسية للهندسة الحسابية (1) computational geometry

الهندسة الحسابية computational geometry (CG) : هي فرع من فروع علوم الحاسب وتركز على الخوارزميات الهندسية ، وللهندسة الحسابية نوعان :

• الهندسة الحسابية التوافقية وتعرف ايضا بالهندسة الخوارزمية وتتعامل مع الاشكال الهندسية ككائنات منفصلة على سبيل المثال : نشرح مثال لطريق او شارع باستخدام الايمائات او النقاط (nods) وتوصيل هذه النقاط او الايمائات ببعضها البعض وهذه الايمائات تكون نقاط بيانية على محوري x-y  ونوجد المساحة بينها باستخدام الهندسة الحسابية

خريطة الجامعة

خريطة الهواتف

• الهندسة الحسابية العددية وتعرف ايضا بهندسة الآلات او التصميم الهندسي بالكمبيوتر (CAGD) او نمذجة الهندسة وتتعامل بالدرجة الأولى مع وصف كائنات العالم الحقيقي في نماذج متكافئة لحسابات الكمبيوتر في انظمة (CAD/CAM).

على سبيل المثال :  تمثيل جبل في صورة مثلث ثلاثي الابعاد ، اونمذجة وتمثيل الكافيين "القهوه"  ككسر جزئي مثلا!! ،، ونمثل هذه الامثلة على رسم بياني ولكن باضافة نقاط اضافية الى  محوري x-y منها محور z ويمثل الجزء العلوي دائما .

الرسوم البيانية من الممكن ان تستخدم في الهندسة الحسابية في طلب تنظيم البيانات ولإيجاد حلول للمشاكل المشتركة . 

صورة توضيحية "لكشك الهاتف"

على سبيل المثال لنبدأ اولا كمثال مع خريطة جامعة فلوردا اتلانتك التي تحتوي على مواقع اكشاك الهواتف داخل الحرم الجامعي ، وهدفنا ايجاد اقرب هاتف لجميع المواقع بالحرم باستخدام الهندسة الحسابية، يمكننا تصميم الخوارزمية التي تستطيع احصاء المسافات بين النقاط البيانية المختلفة و رسم خط يقسم الحرم الجامعي الى عدة اقسام ( شاهد صورة خريطة الهواتف) هذا النوع من الرسم التوضيحي يسمى vonoroi diagram .

الهندسة الحسابية من الممكن ايضا ان تستخدم الروبوتات بحيث ان الخوارزميات يمكن ان تصمم بطلب مساعدة الروبوتات لتجنب العقبات وتسمى " التخطيط الحركي او تخطيط الحركة motion planning" شاهد  "صورة خريطة الهواتف المرمزة بـb " هذا النوع من الخوارزميات يجعل من الروبوتات المستقله امر ممكن .

عندما تحتاج نوعين من البيانات الى الاشتراك او الاندماج، هذه العملية تسمى "overlay الغطاء" .

الغطاء  مفيد جدا للمواقع المختلفه لكل الخرائط .

تصّور مثلا خريطة الهواتف في الحرم الجامعي وخريطة الطرق في الحرم   . ، لهذين النوعين من البيانات نستخدام الهندسة الحسابية  للتنقل الامثل من نقطة لاخرى فالهندسة الحسابية تدرس الخوارزميات للمشاكل الهندسية وتتعامل مع الاشكال المنفصلة ( نقاط ، خطوط ، مجسم كثير الخطوط ، متعدد الاضلاع).

• النقاط ، الخطوط ، الأشكال الهندسية

الشكل1-1

من أكثر النماذج الهندسية شيوعا النقطة ،  والخط هو مجموعة من النقاط المتقابلة الممتدة على متجهات من الاعلى الى ماله نهاية وتتمثل بنقطتين على الخط و رأسين سهمية ، والشكل الهندسي هو شكل ثنائي الابعاد ( مسطح ) يمتد على اتجاهات من الاعلى الى ماله نهاية فالشكل الهندسي بوضوح لاحجم له ولا شكل له قطعا ومع ذلك يتم تمثيله على شكل مربع الزوايا .

الخط الواحد collinear و متحد المستوى coplanar
الخط الواحد يكون ثلاث نقاط او اكثر على نفس الخط اما اذا كان غير ذلك يسمى خط غير واحد non collinear

الشكل السابق يعرض خطين (L&M) الخط L يمر من جميع النقاط a&B&c لذلك يمكننا القول بانه خط مستقيم اما في الخط الذي يعبر من خلال P&Q لا يمكننا القول انه خط واحد لانه لا يمر من جميع النقاط 

وعلى نفس المنوال فان النقاط والخطوط التي تمر خلال نفس الشكل الهندسي يمكننا تسميتها " متحد المستوى " اما اذا كانت لا تمر من خلال نفس الشكل الهندسي فتسمى غير متحد المستوى 

رسم المثال 1

مثال1: خذ اي ثلاثة نقاط non colinear A وB وC على ورقة كم خط مختلف تستطيع رسمها تمر من خلال النقاط ؟ وسم هذه الخطوط 

الحل : نستطيع رسم ثلاثة خطوط واسمائها AB,BC AND AC

مثال 2 :

من الصورة السابقة اجب عن الاتي : 

1. سم الخطوط الموازية للخط AB
2. هل الخط AO والنقطة R متحد المستوى coplanar ؟ ولماذا
3. هل النقاط A,S,B و R متحدة المستوى coplanar ؟ ولماذا
4. سم ثلاثة اشكال هندسية تمر من خلال A 

الحل : 

1. الخط CD ، الخط SR ، والخط PQ
2. نعم ، اي خط و نقطة خارجية تسمى متحد المستوى coplanar 
3. نعم ، الخطان المتوازيان دائما متحدة المستوى coplanar
4. ABCD,ADSP و ABPQ

line segment القطعة المستقيمة : 

القطعة المستقيمة هو جزء من الخط طوله ثابت بناء على نقطتي النهاية واللتان تستخدام لتسمية القطعة المستقيمة 

pq قطعة من الخط AB والخط يظم قطع غير محدودة واذا كانت هانك قطعتان على الخط لها نقطتي نهاية مشتركة يمكن اضافتها 

pq و والقطعة QR هما قطعتان على الخط l و لهما نقطة نهاية مشتركة q وبالتالي القطعة pq + والقطعة qr = القطعة PR 

على القطعة pr توجد النقطة M بالتالي القطعة PM + القطعة MR = القطعة PR او القطعة PM = القطعة MR تدل على ان القطعة pr = قطعتان pm = قطعتان MR وبعبارة اخرى تعني ان الـ M متساوية البعد من P و R وبالتالي M هي نقطة المنتصف للقطعة PR ، كل القطع لها نقطة انتصاف واحدة ووحيدة .

هل التالي صحيح ام خاطئ ؟ 

1. اي عدد للخطوط يمكنه المرور من خلال نقطة معطاة واحدة 
2. اذا كان هناك نقطتين تقعان على مسطح وهناك خط يربط بينهم يقع ايضا في نفس المسطح 
3. اي عدد من الخطوط يمكنها المرور من خلال نقطتين
4. خطان يمكنها التقاطع على اكثر من نقطة 
5. مسطحان يمكنها التقاطع على خطين 
6. اذا كان هناك خطين يمكن ان تقاطع مسطح يضم كلا الخطين 
7. القطعة المستقيمة لها نقطتي نهاية وبالتالي طول ثابت 
8. المسافة بين نقطة منتصف القطعة وبين نقطة نهاية واحدة من الممكن او غير الممكن ان تساوي المسافة لنقطة النهاية الاخرى 

الاجابات : 

1. صح
2. صح
3. خطأ ، خط واحد فقط يمكنه العبور من خلال نقطتين معطاة
4. خطأ ، خطان فقط يمكنها التقاطع على نقطة واحدة
5. خطأ، مسطحان يمكنها التقاطع على خط واحد 
6. صح
7. صح
8. خطأ ، نقطة المنتصف متساوية المسافة لكلا نهايتي القطعة

الشعاعات والزوايا rays and angles

الشعاع  له نقطة نهاية واحدة يمتد الى الاتجاه الاخر بشكل لانهائي ويتمثل بتسمية نقطة النهاية على المتجه او "الشعاع" وبتسمية النقاط الاخرى على المتجه ويرمز للشعاع بالرمز →

حرف j يمثل نقطة النهاية و k نقطة على الشعاع بالتالي يرمز للشعاع بالرمز ￫JK *ويكون السهم اعلى الحروف* ويمتد الشعاع الى اتجاه واحد فقط 

شعاعين متجهه الى اتجاهين مختلفين ولكن لها نقطة نهاية مشتركة على شكل زاوية ، نقطة النهاية المشتركة تسمى السمت  vertex  للزاوية واضلاع الشعاع او جوانبه تسمى arms والزاوية يرمز لها بالرمز ∟ وتتم تسميته باستخدام كلا جانبي الشعاعين او باستخدام الـ السمت vertex فقط 

بالتالي نرمز للشكل السابق اما بالرمز ┙xyz  او ┙Y حيث ان y هي الـ vertex

الزوايا الداخلية والزوايا الخارجية Interior and Exterior of an angle 

الزوايا الداخلية للشكل التالي ┙PQR هي الجزء المضلل حيث ان الـ s نقطة داخلية للزاوية ┙Q لانها تقع على الجانب -R للمتجه PQ ، وضلع الـ p- للمتجه QR ، فمجموع النقاط تعتبر داخلية لـ ┙PQR .

وفي الشكل التالي الجهة المضللة تعرض الجزء الخارجي للزاوية ┙ XYZ والجزء الخارجي للزاوية يمكن تعريفه بمجموع النقاط في الشكل الهندسي للزوية المعطاه التي لا تكون في الجانب الداخلي للزاوية .

قياس الزاوية Measure of an angle

كل زاوية لها قياس بالدرجات من 0⁰ الى 180⁰ ويرمز لها بـ  m ∠. A والخط ايضا يمكن اعتباره زاوية لانه يستوفي شروط القياس وله متجهين تتجه الى اتجاهين مختلفين ونقطة نهاية مشتركة 

وقياس الشكل السابق: M∠AOB=180⁰

جميع المتجهات تبدأ من o وتذهب للاعلى فوق الخط AB على شكل زوايا وقياسها جميعا بين 0⁰ الى 180⁰  eg. ∠ COB , ∠ DOB and ∠ EOB. 

الخصائص الاضافية للزوايا 

زاويتان لها جانب مشترك و vertex مشترك متجاور اذا كانت عناصره الداخلية منفصلة ، قياس زاويتان متجاورة يمكن جمعها لايجاد قياس ناتج الزاوية ، وهذا يسمى خصائص جمع الزوايا ، لاحظ الصورة السابقة .

 m ∠ COB + m ∠ DOC = m ∠ DOB.

منصف الزاوية Angle Bisectors

هو المتجه الذي يمر من خلال السمت او مايسمى  "vertex" على الزاوية ويقسم الزاوية الى زاويتان متساوية القياس مثل الشكل التالي

AOB and ∠ COB  ∠ متساوية القياس و OB يسمى منصف الزاوية ∠ COA  ومثل اي خط يكون له نقطة نهاية واحدة فإن الزاوية ايضا يكون لها منصف واحد فقط 

أنواع الزوايا  types of angles

• الزاوية القائمة right angle

الزاوية القائمة لها قياس90⁰ ويرمز لها بالرمز ⊾ وفي الشكل التالي جميع الزوايا القائمة متساوية ∠ AOB 

• الزاوية الحادة Acute angle

هي اي زاوية قياسها بين 0⁰ الى 90⁰ 

0 < a < 90

• الزاوية المنفرجة Obtuse angle

اي زاوية قياسها بين 90⁰ الى 180⁰

90⁰  < b < 180⁰

• بعض الزوايا الخاصة Some special angles

1. الزوايا التامة Complementary angle

 اذا كان مجموع زاويتين يساوي  90⁰ فان هذه الزاويتان تسمى تامة ، والزوايا التامة نوعان: اذا كان للزاوية التامة جانب واحد مشترك تسمى زاوية تامة متجاورة adjacent complementary angles (الشكل 1.20a)

واذا لم يكن هناك جانب مشترك تسمى زاوية تامة غير متجاورة non-adjacent complementary angles(الشكل 1.20b)

بالتالى قياس الزوايا التامة دائما المجموع يصل الى 90⁰ اذا كان قياس زاوية واحدة معلوم فبالتالي يمكن قياس الزاوية التامة بسهولة ، في الشكل السابق الزوايا تامة وقياس الزاوية a معلومه وهي معطاه m ∠ a = 30⁰. 

ويتضح القياس اكثر في المعادلة التالية :

m ∠ a + m ∠ b = 90⁰

    30⁰ + m ∠ b = 90⁰  

              m ∠ b = 90⁰ −30⁰ 

              m ∠ b = 60⁰

حيث ان كل زاوية تساوي 30 ومجموع الثلاث زوايا مجتمعة يساوي 90 بينما مجموع زاويتان يساوي 60 وهكذا

نظرية : اذا كانت الزوايتان تامة على الزاوية الثالثة فبالتي فان كل زاوية منهم تساوي الاخرى 

اثبات: 

: ∠ a and ∠ b are both complementary to ∠ c. 

∴ m ∠ a + m ∠ c =  90⁰ and also 

m ∠ b + m ∠ c =  90⁰  

∴ m ∠ a + m ∠ c = m ∠ b + m ∠ c OR 

m ∠ a = m ∠ b 

ملاحظة الكاتب : الزوايا التامة تسمى ايضا في المناهج الهندسية العربية متتامة او متكاملة  لذا انصح عند البحث استخدام المصطلح الانجليزي " complementary angle"

• الزوايا التكميلية Supplementary angles

اذا كان مجموع قياس زاويتان يصل الى 180⁰ فانها تسمى زوايا تكميلية والزوايا التكميلية نوعان :

1. زوايا تكميلية غير متجاورة  Non adjacent supplementary angles 
2. زوايا تكميلية متجاورة  Adjacent supplementary angles

الزاوية التكميلية غير المتجاورة منفصلة  distinct وليس لها اضلاع مشتركة 

 A and ∠ B are supplementary and non adjacent. الزوايا A وB تكميلية وغير متجاورة 

الزوية التكميلية المتجاورة تسمى زوايا بخط مزدوج ولها ضلع مشترك 

الزوايا المتقاطعة Vertical angles

عندما يتقاطع خطين AB و CD على النقطة O عندها ستنشأ 4 زوايا ويعتبر O السمت 

الزوايا المتقاطعة دائما متساوية القياس

اثبات: لاثبات  m ∠ AOC = m ∠ BOD 

m ∠ AOC + m ∠ COB = 180⁰ ( supplementary angles زاوية تكميلية ) 

m ∠ BOD + m ∠ COB = 180⁰( supplementary angles زاوية تكميلية) 

i.e. m ∠ AOC + m ∠ COB = m ∠ BOD + m ∠ COB 

or m ∠ AOC = m ∠ BOD. 

  تابع جميع تدوينات السلسلة على الرابط :  مــــن هـــــــــــــنا

المرجع :   Computational Geometry - Algorithms and Applications 3rd Ed

تمت ترجمة المرجع لصالح مدونة فاب fab2.info بواسطة : فيصل عسيري